1. 四个基本子空间

• 行空间 \(C(A^T)\)，一个 \(R^n\) 的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为 \(r\)
• 列空间 \(C(A)\)，一个 \(R^m\) 的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为 \(r\)
• 零空间 \(N(A)\)，一个 \(R^n\) 的子空间，由所有 \(Ax=0\) 的解的线性组合构成，维数为 \(n-r\)
• 左零空间 \(N(A^T)\)，一个 \(R^m\) 的子空间，由所有 \(A^Ty=0\) 或者 \(y^TA=0^T\) 的解的线性组合构成，维数为 \(m-r\)

2. \(R\) 的四个基本子空间

假设 \(A\) 的最简行阶梯形式为 \(R\)，我们可以很容易地从 \(R\) 找到四个子空间。

矩阵 \(R\) 中有两个主元，因此其秩为 2。

行空间的维数等于秩，为 2，其中一个基可以取 \(R\) 的前两行。

列空间的维数等于秩，为 2，主元所在的列为第一列和第四列，因此其中一个基为 \(R\) 中对应的两列。

零空间的维数等于 \(n-r\)，为 3，有三个自由变量，因此对应着三个特解，它们就是零空间的一个基。

左零空间寻找的是 \(R\) 的行的线性组合来产生一个零向量。

显而易见，\(y_1\) 和 \(y_2\) 必须为 0，而 \(y_3\) 可以取任意值。左零空间的一个基为 (0, 0, 1)，维数为 \(m-r=1\)。

2. \(A\) 的四个基本子空间

\(R\) 和 \(A\) 有着相同的行空间、维数 \(r\) 和基。

\[EA=R \quad A = E^{-1}R\]

由矩阵乘法可知，\(R\) 的每一行都是对 \(A\) 的行的线性组合，而且 \(A\) 的每一行也都是对 \(R\) 的行的线性组合。因此，消元只是改变了行，并没有改变行空间。

\(Ax=0\) 当且仅当 \(Rx=0\)，它们的 \(r\) 个主列都是不相关的，它们的列空间维数都为 \(r\)。

其中 \(A\) 的列可以看作是对 \(E^{-1}\) 的列的线性组合，因此 \(A\) 和 \(E^{-1}\) 有着相同的列空间。

\(R\) 和 \(A\) 有着相同的零空间、维数和基，因为消元并不改变方程组的解。

\(A\) 的左零空间维数为 \(m-r\)。

因为 \(R\) 的最后 \(m-r\) 行为全零行，也就是 \(E\) 中最后 \(m-r\) 行对 \(A\) 的行的线性组合产生了零向量，因此它们是左零空间的一个基。

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